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La demencia de Atenea

Por Mario Jaime

La Paz, Baja California Sur (BCS). ¿Cómo podemos nosotros, como seres finitos, reconocer los objetos matemáticos y las verdades, si éstas se encuentran en las esferas celestiales de las ideas?

Tal pregunta era contestada por los pitagóricos y platónicos con la noción de intuición a través de la razón. Las ideas nos llueven desde el Tropos Uranos, el cielo, la verdadera realidad más allá de las apariencias materiales. De esta manera, las matemáticas conforman la base del idealismo. Esta filosofía es también la doctrina de una religión que fue absorbida tanto por el cristianismo renacentista como por el Islam, y dio los argumentos de una realidad cósmica que se puede comprender por medio de la inteligencia.

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Casi suena a dogma, y probablemente eso sean los axiomas. Un axioma matemático es una proposición tan evidente, que se considera que no requiere demostración. Los conjuntos de axiomas forman un teorema, que debe ser demostrado y fundamentado lógicamente. La obra magna de Euclides se fundamente en teoremas geométricos.

Pero, ¿la realidad puede ser matematizada tal cuál es?

Los aristotélicos lo dudaron. Para el mismo filósofo, la idealización carecía de sentido en la realidad. Fue el gran enemigo del número pitagórico y, tanto lo negó, que su Física carece de matemáticas. “En cuanto a construir los cuerpos físicos a partir de números, cosas que tienen peso y ligereza, a partir de cosas que no tienen peso ni ligereza, parecen estar hablando de otro cielo y de otros cuerpos, pero no de los sensibles. Todas estas cosas carecen de sentido, chocan entre sí y con el buen sentido” clamaba en contra de los platónicos.

Los constructivistas piensan que las matemáticas no tratan sobre la realidad. Ludwig Wittgenstein defendió que las verdades, expresadas en la lógica y las matemáticas, no son acerca de los números, series, o triángulos o cualquier otra materia específica, de hecho, no son sobre nada en absoluto. Así, las matemáticas no aportan pensamiento alguno, ya que las ecuaciones son tautológicas. Tal es la base del Formalismo, al cual se adhirió otro gran matemático como David Hilbert, para quien la verdadera importancia en la construcción de los saberes matemáticos no es el resultado numérico, sino la ley de cómo estructurar las relaciones entre los objetos matemáticos.

El debate se espesa cuando entra en escena la siguiente pregunta: ¿las matemáticas son lógicas? Tal pregunta fue abordada con una pasión fría y demencial por grandes figuras del siglo XX, como el mismo Hilbert, Frege, Whitehead y Bertrand Russell.

Russell, partiendo de la teoría de conjuntos de Cantor, encontró paradojas tan lógicas que resultan absurdas. En un sistema axiológico absoluto, cerrado, sin salidas, el sistema lógico puede resultar ilógico. Tal fue uno de sus hallazgos en su obra Principia matemática.

Se puede enunciar así: En un conjunto de hombres, uno de ellos es barbero. El axioma determina que los barberos solo pueden afeitar a las personas que no pueden afeitarse por sí mismas. Todos los hombres del conjunto deben estar afeitados. Pregunta: ¿Quién afeita al barbero?.

Las paradojas autorreferenciales son clásicas. Si usted, lector, le dice a su novia: Te estoy mintiendo. ¿Está usted mintiendo?. Es la clásica paradoja del cretense Epiménides, que afirmaba: “Todos los cretenses mienten”. Remito al lector a la paradoja del ahorcado, que Cervantes pone en boca de Sancho Panza en el capítulo LI de la segunda parte de Don Quijote de la Mancha.

Ya sean paradojas semánticas, lógicas o matemáticas, estas remiten a la idea del infinito, tan defendida por Cantor y que nos causa terror sublime según Kant. Giordano Bruno había considerado necesario que la realidad fuese infinita; esa y sus ideas teológicas y atomistas, le costaron ser quemado por hereje en 1600. Escribió: “Porque así como estaría mal que este espacio no estuviera lleno, o sea, que este mundo no existiese, igualmente, por la no diferencia, está mal que todo el espacio no esté lleno y, por consiguiente, el universo será de extensión infinita y los mundos serán innumerables”.

A David Hilbert, como anti platónico, tal concepción le horrorizaba. Así le espeta: “el infinito, que es en realidad la negación de un estado vigente en todas partes, es una espantosa abstracción; tratable solamente mediante el uso, consciente o no, del método axiomático”.

Russell, con su ironía característica, resumió la complejidad de la idea en este aforismo: “Algunos de los posibles mundos son finitos, algunos infinitos, y nosotros no tenemos forma de saber a cuál de esos dos tipos pertenece el nuestro”.

El debate fue pensado en 1865 por un profesor de lógica matemática enamorado de una niña de 11 años, a la que le dedicó un libro ahora clásico. La tesis de Alicia en el país de las maravillas, de Lewis Carroll, es justamente la pregunta: ¿Es la lógica la que nos lleva a la locura, o la locura la que nos lleva a pensar que todo es lógico? Los personajes de esta ficción hablan con una lógica absoluta y Alicia piensa que están locos, pues ella cree que su lógica es absurda. Por el contrario, ella cree que es lógica, mientras que los demás personajes la consideran absurda y lunática.

El clímax del debate se debió a un genio que se dejó morir de hambre, en una triste tragedia mental. Kurt Gödel enunció en 1931 su teorema de incompletitud, donde analizó que los sistemas formales del tipo las paradojas de Russell, o son incompletos (no pueden demostrar todos los teorema ciertos) o son inconsistentes (contienen contradicciones). Así, la matemática, o no dice toda la verdad, o miente. No es posible probar la no contradictoriedad de un sistema formal. Ya que ningún sistema axiomático tiene todos los axiomas posibles, hay enunciados significativos que no se pueden refutar ni probar. Para que las matemáticas sean verdaderas  (coherentes), no deben ser lógicas. El axioma debe ser incompleto (no absoluto), si quiere evitar la paradoja.

Einstein lo resumió de esta manera: “Tanto como las leyes matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas. Tanto si son ciertas, no se refieren a la realidad”. Esta afirmación parece poner a Einstein del lado de los anti platónicos, pero aquí hay una contradicción. ¿Por qué describió sus modelos físicos con ecuaciones matemáticas? ¿Es sólo un juego? ¿Se burló de nosotros?

Para evitar esta contradicción, Putnam propuso el realismo matemático en 1975, que, a fin de cuentas, resulta una postura platónica. Aunque el matemático sepa que los números no son ontológicamente reales, debe tratarlos como si lo fueran. “No es posible ser un realista respecto a la teoría física y ser nominalista respecto a la teoría matemática”. Según él, este realismo es la única filosofía que no hace del éxito de la ciencia física, un milagro.

¿Si la realidad es cosmos, podría ser tan racional y matematizable que, en el límite, no habría distinción alguna entre matemáticas y realidad?

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La demencia de Atenea

Por Mario Jaime

La Paz, Baja California Sur (BCS). Los resultados de los matemáticos: ¿son construcciones mentales que no tienen auténtica realidad?  ¿O son verdades que estaban antes del humano, verdades cuya existencia es independiente del humano? ¿Es una ciencia o un lenguaje? ¿o ambos?

En el Discurso del método, Descartes aseguró que su método basado en las matemáticas, podría utilizarse para descubrir todas las cosas que puede conocer el hombre. ¿Es eso cierto? Apuntala la creencia filosófica de que todo lo real es racional y matematizable, tan racional y matematizable que, en el límite, no hay distinción alguna entre matemáticas y realidad.

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¿Todo hecho real es matematizable?

Las matemáticas tratan de relaciones, de estructuras; y la noción de un cosmos nos remite a que podemos estructurar la realidad, por lo tanto esta realidad sí sería matematizable. Es por eso que las matemáticas representan un lenguaje universal para las distintas ciencias.

Bertrand Russell definió a las matemáticas como “Una ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero “. Gran frase que sintetiza los principales problemas filosóficos sobre esta disciplina artística, a saber:

¿El humano inventa las matemáticas o las descubre?

Se puede clasificar a los polemistas en dos grupos generales: los platónicos y los antiplatónicos. Los platónicos creen que la verdad matemática es real y va más allá de las construcciones humanas; por lo tanto es absoluta, y existen los conceptos matemáticos fuera de la mente del hombre. Por supuesto Pitágoras y Platón caen en esta clasificación, también mentes notables como las de Roger Penrose, Newton, Galileo y la mayoría de los físico matemáticos.

Por el contrario, los antiplatónicos (constructivistas) sostienen que las matemáticas son una invención humana que sirve de herramienta. Es lenguaje, a veces lógico y a veces no. Wittgenstein y David Hilbert destacan entre ellos. Pero hay otras posturas que cabalgan entre las dos precedentes. Los empiristas piensan que los conceptos son objetos mentales que existen como ideas, sensaciones o imágenes y estas deben considerarse reales. Aristóteles pensaba así aunque se mofaba de las creencias pitagóricas.

Hay una propuesta de Mario Bunge– una cuarta vía- llamada conceptualista ficcionista materialista. En ella se considera a los objetos matemáticos, no como ideas, sino como conceptos ficticios inventados por los humanos, como una herramienta útil. Esta postura podría englobarse dentro de la filosofía antiplatónica.

Las matemáticas son la máxima expresión del idealismo; a veces definida como la ciencia de las construcciones posibles, y su objetivo es encontrar las diferencias entre las magnitudes percibidas por los sentidos y las magnitudes ideales.

Desde su origen histórico, las matemáticas son una expresión del pensamiento mágico y su génesis es poética, pues se basa en la creencia de que los números son uno de los conceptos más perfectos, y por lo tanto, esconden una relación mística con los eventos, los seres vivos y las “fuerzas físicas y espirituales”.

Es por ello que los matemáticos de la antigüedad, han tenido una gran relación con los magos y bajo su abrigo se instituyeron religiones como la secta pitagórica. Tal pensamiento conceptual puede ser propio de los humanos, quizá de algunos homínidos ancestrales. El hueso de Ishango, descubierto en 1950 en el Congo, un hueso de babuino con muescas que indican números primos, es uno de los primeros indicios de cálculo matemático de hace 25 mil años.

El caso es que no hay cultura sin nociones numéricas. Los Sän del sur de África –llamados bosquimanos- solo cuentan hasta tres: 1, 2, 3 y…fin. Un bosquimano puede decir que hay tres leones pero cuando ve una manada de ellos dice “hay un infinito de leones (aunque solo sean cuatro)”. Mientras que los indios antiguos tienen números gigantescos, lo que concede su mitología. Según los Vedas, cuatro yugas, o edades, se repiten en un ciclo interminable de 4 320 000 años. Pero eso es un suspiro, los indios  tienen nombres para súper números, como el Padm (10 ¹⁵ = Mil billones) o el Mahashankh (10 ¹⁹ = diez trillones).

La ciencia matemática fue esotérica durante miles de años. Solo los iniciados entraban al mundo de las armonías y las relaciones. El Papiro de Ahmes del siglo XVI a.C, nos ilumina sobre el pensamiento egipcio al anunciarse como la Clave para entrar en conocimiento de  todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios. ¿Quién no querría poseer tal poder? Pues el caso es que dicha llave no es más que aritmética básica, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría. De ahí el poder de los sacerdotes o magos egipcios que, -como ingenieros- sabían modificar la realidad militar y tecnológica; construir templos, pirámides, artilugios, dividir las tierras fértiles, y muchas cosas más, que les proporcionaban superioridad frente a un pueblo fanatizado e ignorante.

Se han encontrado tablillas babilónicas que tratan de resolver la  y se acercan notablemente al resultado; y otras, con relaciones logarítmicas exponenciales sin un fin práctico aparente, lo que sugiere ya investigación de ciencia pura.

En China, el libro de las adivinaciones o profecías, el I Ching o I King, libro del 2500 a.C, es otro ejemplo de numerología ligada al concepto cósmico. La leyenda presenta al mítico emperador Fu Hi, un hombre serpiente que vio emerger del Río Amarillo a un dragón, en cuyo lomo se representaba el Pa kua, símbolo del cosmos o “secuencia del cielo tardío” mediante ocho trigramas o agrupaciones de tres líneas. Al centro la esfera del Yang y el Ying, la dualidad del universo, el lado luminoso, seco y masculino de la montaña, y el lado sombrío, húmedo y femenino de la montaña. Opuestos, interdependientes y capaces de transformarse uno en el otro, estos símbolos eran el reflejo del cielo.

Tal revelación del cambio, la consignaban los sacerdotes mientras arrojaban grupos de tres palillos o fichas y los grababan en caparazones de tortugas (representación del dragón acuático). Este método daba como resultado 64 configuraciones diferentes de seis líneas llamadas hexagramas, que representaban  múltiples escenarios, los elementos míticos, las cualidades personales, las estaciones, los puntos cardinales o los miembros de una familia. El azar con que caían los palillos no significaba desorden, sino un determinismo cósmico, por eso se consultaba a los caparazones como oráculos que profetizaban lo eventos trascendentes.

Algunos han visto secuencias binarias en el I Ching. Uno de ellos fue Leibniz, cuando en 1700, el jesuita Joachim Bouvet llevó a Alemania diagramas de los hexagramas. Leibniz buscaba un sistema de comunicación universal más allá de los idiomas, el cual permitiera a los filósofos de cualquier cultura comunicar ideas abstractas. Estaba trabajando en su propio sistema de números binarios cuando quedó fascinado por el I Ching.

Martin Schönberger, en  1979, relacionó la estructura del ADN con el I Ching, clamando que las cuatro posibilidades yang-estable/yang-móvil y yin-estable/yin-móvil, correspondían a  los nucleótidos A, G, C y T. Estos nucleótidos se agrupan en tres, lo que se conoce como codones. Hay 64 combinaciones de los codones para sintetizar proteínas como 64 hexagramas del I Ching.

¿Y eso qué? Usted lector, llegue a las conclusiones que se le dé la gana.

Lo cierto es que en la China antigua, las matemáticas fueron un cuerpo de resolución de problemas muy avanzado; la teoría de las marices propuesta por el genial James Joseph Sylvester, en 1858, ya se definía en el libro del siglo III a.C Chiu Chang Suan Shu (Los nueve capítulos sobre arte matemático).

Cuando el cero aparece en las matemáticas indias, está ligado en su origen a la religión hindú, a su filosofía o a las prácticas ascéticas.  El antiguo símbolo bindhu, es un punto en el centro de un círculo que simboliza el vacío o la negación del yo. En ese contexto ya alguien puede pensar en el cero.

Estos saberes se ven ya sincretizados en la secta pitagórica. El legendario Pitágoras, divinizado y exaltado, es probablemente una figura mítica al que se le atribuye el mismo concepto de filosofía. Siendo así, la filosofía está más que hermanada con las matemáticas.

Máthēma significa estudio y estaba ligado estrechamente a la Musiké, lo inspirado, lo que se revela y no puede ser estudiado. De esta forma, se piensa que las matemáticas son, tanto el producto de un estudio intenso como de inspiraciones súbitas. Los matemáticos eran los conocedores del verdadero conocimiento esotérico, destinado a pocos iniciados, mientras que los acusmáticos solo escuchaban, oían y callaban, y no alcanzaban ese conocimiento profundo, por eso su saber era exotérico. Con el tiempo un acusmático podía adquirir el conocimiento suficiente para convertirse en matemático, entrar al templo y adquirir la verdad del maestro.

¿Cuál era la verdad? Todo es número.

He ahí la verdad absoluta de Pitágoras que sus discípulos juraban no revelar; no hay que arrojar perlas a los cerdos. Juraban por la sagrada Tetraktys, triángulo formado por los primeros cinco números que simbolizaba el eterno retorno; todo proviene del uno, por el uno, para el uno y vuelve al uno.

Pero, ¿qué es un número?  Para los pitagóricos el número es la relación entre dos ideas. O sea,  una relación entre dos formas. Tal concepto implica un mundo geométrico. Por ello, el dogma de esta secta era que todo se puede demostrar usando diagramas formados a partir de copias de formas básicas, es decir: dos longitudes cualesquiera serían múltiplos enteros de una longitud común. Esto implica que todas las longitudes serían racionales.

La música sagrada se basa en la armonía, y parte de la idea que las longitudes de las cuerdas que emiten sonidos armónicos, guardan entre sí relaciones numéricas simples. Si la música se podía explicar mediante cocientes de números enteros, el universo entero también podría explicarse con ellos. La sinfonía cósmica o la música de las esferas se deduce. Si los astros son esferas giratorias, entonces sus radios sobre las cuales se mueven en su giro en torno a la Tierra, están relacionados entre sí, tal como lo están las cuerdas de un instrumento musical.

¡Por eso la novena sinfonía de Beethoven nos remite al cosmos! O parafraseando a Cioran: Dios se descubrió a sí mismo cuando escuchó la música de Bach.

Según la leyenda, Hipaso –maestro de Heráclito y uno de los acusmáticos pitagóricos-, descubrió que este dogma era falso, al demostrar que la diagonal de un cuadrado  no es una fracción exacta, o que  es un número irracional. Parece que a los hierofantes del número les ganó el fanatismo, pues le acusaron de difundir un conocimiento secreto y le arrojaron del barco donde navegaban, para que las olas se tragaran para siempre al hereje.

Pero el mar no se tragó la consecuencia, la ruptura entre la geometría y la aritmética derrumbó la fe pitagórica. No obstante, la idea de armonía en el cosmos supervivió como una prueba del orden divino, de los dioses o de Dios como un gran geómetra y fue incorporado a la teología y la estética de las artes.

Los poliedros regulares formados de caras idénticas, que poseen todos los tipos de simetrías que existen en el espacio (respecto a un punto, respecto a un eje y respecto a un plano), conocidos como sólidos platónicos también simbolizaron durante milenios los elementos míticos, la tierra el agua, el aire y el fuego, mientras que el icosaedro se consideró la quintaescencia, una sustancia hipotética, éter o el elemento dominante de los otros elementos.

Continuará en la segunda parte

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